高一数学下册第三单元知识点-直线与圆的位置关系辅导

师：上述图形中直线和圆的相切你是如何得到的？
生1：我是看出来的。
师：要是这样呢?你也能看得出来吗?(画得似乎相切——很难看出来是相切还是相交);(保持圆和直线的相对位置不变的情况下，拖动，再观察)

生2：有的情形是观察不清楚公共点个数的，那就圆心到直线的距离与半径比较。
师：如何去比较呢?象图中圆心到直线的距离怎么得到?半径又是如何得到?
生2：用来量吧，不过好象也不行的，那也只是近似的，象图中问题还是难以解决的。
师：观察和量都不是精确的，怎么样才是精确的呢?
生2：用算出来的量化数字来判断。
师：对，解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门学科，直线、圆都有方程，那么我们就可以通过研究两个方程的相关量来得到直线与圆的位置关系(写出本课课题)
【思考】通过问题解决引导学生回忆已学判断直线与圆的位置关系的方法，并通过表格使之直观形象.然后利用电脑的分辨率造成误解，让学生感受到能否量化，需要根据数量来判断，为后续引出用坐标法解决问题做铺垫，也自然提出了本课课题。

二、典型问题中分别探索坐标法解题过程

问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响? 让学生之间进行讨论、交流。

师：你是怎么判断轮船受不受影响?
生(齐声)：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交.
师：对，这个问题其实可以归结为直线与圆的位置关系.
生3：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口位置，在OAB中，O到AB的距离=


，因此受影响.(平几方法)
生4：我是用代数方法的，先是建立坐标系。
师：那如何建立坐标系?


生4：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.
师：具体怎么解决该问题?
生4：这样就有了直线和圆的方程、，再解方程组，分别有两解、一解和无解，对应于相交、相切和相离。(根据方程组的解)
师：还有什么方法?
生5：建立坐标系后求点到直线的距离，再与半径比较大小。台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，圆心O(0，0)，半径5，轮船航线所在的直线的方程为，


，直线与圆相交，也即得到是受到台风影响的。
师：问题是解决了，第一种方法是平面几何方法，第二、三种方法是用直线和圆的方程来解决，这就是坐标法，你能归纳一下坐标法解决问题的过程吗?

生5：先合适地建立坐标系，将几何元素和特征转化为代数表示(如点的坐标、直线和圆的方程等)，然后进行代数运算得到结果，最后将结果转化回到几何结论。

【思考】让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案.然后重点通过追问整理出判断直线与圆的位置关系的解决过程即步骤，对相关知识进行梳理，使学生有坐标法的“操作规范”并能明确，同时也渗透了算法思想.

三、一般问题解决中综合运用坐标法

例1、已知：直线与圆，判断直线与圆的位置关系;若相交，求出交点坐标。

师：你是运用什么方法解决此问题的呢?
生6：(解法1)我是通过解方程组研究公共点的个数的。
师：为什么方程组有两个实数解就表明它们有两个交点?(代数到几何)
生6：直线和圆由点来构成，每个点的坐标满足条件，而方程组的解既满足直线方程又满足圆方程。
生7：(解法2)借助初中已经有的几何方法，是几何方法的代数体现。我是先求直线到圆心的距离，再比较距离与半径的关系——(通过距离公式)数量关系(不等式与等式)。
师：为何你用圆心到直线的距离并与半径比较后还要解方程组?
生7：因为题中是要求交点的。
师：对，这就是数到形时难入微。

例2：已知过点的直线被圆截的弦长为，求直线的方程。

师：你又是以怎么样的思路来解决该题的?
生8：解方程组，然后用韦达定理来解决。
生9：将圆化为标准方程，通过求出弦心距来解决。
师：你会喜欢哪种方法?
生10：前面一种
师：为什么?
生10：相对来说前面那种思路清晰。
师：那一定能说后面那种方法思路不清晰吗?如果我把曲线方程成?
生(齐声)：那后面那种方法不能用了，因为不是圆了。
师：对，前面那种方法是通法，而相对直线与圆来说，后面这种方法是先借助圆的几何对称性将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离，使后面的代数运算简化。
【思考】通过对一般直线与圆位置关系、交点和弦长问题解决过程的分析，突出了坐标法的运用。在运用坐标法解题时通过追问既有两种方法的分析又有两种方法的比较，更明确了坐标法解题的一般适用性，又有解决特殊几何问题时利用几何特征的简化解题。另外涉及到圆的弦长问题时，常利用垂径定理和半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行计算进行简化运算;涉及到弦长问题时，也可利用设而不求、韦达定理来求解，渗透弦长公式，为 以后研究圆锥曲线的弦长问题打下基础。
四、易错问题辩析中明确坐标法运用注意
教师将上述例2作如下的变式并让学生练习：
已知过点的直线被圆截的弦长为8，求直线的方程。 实物投影仪展示学生的练习：圆方程可化为，令所求直线方程为 ，即。 由于弦长为，所以圆心到直线的距离为，从而


，解得


，所求直线为。
师：画个图，你估计一下这样的答案正确吗?
生11：好象应该有两条的，但上面的解题过程好象没问题呀。
师：那这一条是怎么少掉的?少掉的那条从图中看得出是哪条?又是怎么漏掉的?(留一定时间让学生同桌讨论)
生12：少掉的那条就是直线，它是垂直于x轴的。在刚才用代数方法设直线方程时设了直线的斜率k,隐含着去掉了斜率不存在即垂直于x轴的直线的。
师：对，这儿的问题搞清楚了，它可以给我们什么启示?
生12：运用坐标法解题时，几何问题转化为代数问题时要求一致。
师：也就是要求转化过程的等价，这也包括在后面代数运算得到结果后返回到几何问题的结论中。

【思考】坐标法解题中包含着几何问题到代数问题、代数结果到几何结论的转化，其中都需要等价转化的要求，坐标法解题时容易出现转化的不等价。上述问题 教学中先暴露问题然后组织学生对易错问题开展辩析，较好地引导学生理解了出现错误的原因并从等价转化思想的层面明确了要求。

坐标法是解析几何的核心，它贯穿于整个解析几何的学习，我们应该在各相关内容的教学中渗透坐标法，使学生能深刻地理解并熟练地运用。