学习资料 2021-03-18 536
考试是检验学习成果的重要手段,是巩固新知识,形成新技巧,培养良好的思维品质,发展学生智力的重要途径,是学习过程中不可跨越的一环。只有不断地考试才能让知识掌握的更深刻,下面是学大教育小编为大家整理的2016年高一数学下册《向量的数量积》达标测试,供大家参考。
一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.设i,j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为( )
A.-2 B.2
C.-12 D.不存在
解析:由题设知:a=(m+1,-3),b=(1,m-1),
∴a+b=(m+2,m-4),
a-b=(m,-m-2).
∵(a+b)⊥(a-b),
∴(a+b)•(a-b)=0,
∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0,
解之得m=-2.
故应选A.
答案:A
2.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线,则必有( )
A.a⊥b B.a∥b
C.|a|=|b| D.|a|≠|b|
解析:f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线,
即f(x)的表达式是关于x的一次函数.
而(xa+b)•(a-xb)=x|a|2-x2a•b+a•b-x|b|2,
故a•b=0,又∵a,b为非零向量,
∴a⊥b,故应选A.
答案:A
3.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a•b的范围是( )
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,1)
解析:∵a与a+2b同向,
∴可设a+2b=λa(λ>0),
则有b=λ-12a,又∵|a|=12+12=2,
∴a•b=λ-12•|a|2=λ-12×2=λ-1>-1,
∴a•b的范围是(-1,+∞),故应选C.
答案:C
4.已知△ABC中, a•b<0,S△ABC=154,
|a|=3,|b|=5,则∠BAC等于( )
A.30° B.-150°
C.150° D.30°或150°
解析:∵S△ABC=12|a||b|sin∠BAC=154,
∴sin∠BAC=12,
又a•b<0,∴∠BAC为钝角,
∴∠BAC=150°.
答案:C
5.(2010•辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设 则△OAB的面积等于( )
A.|a|2|b|2-(a•b)2
B.|a|2|b|2+(a•b)2
C.12|a|2|b|2-(a•b)2
D.12|a|2|b|2+(a•b)2
解析:cos〈a,b〉=a•b|a|•|b|,
sin∠AOB=1-cos2〈a,b〉=1-a•b|a|•|b|2,
所以S△OAB=12|a||b|
sin∠AOB=12|a|2|b|2-(a•b)2.
答案:C
6.(2010•湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 等于( )
A.-16 B.-8
C.8 D.16
解析:解法一:因为cosA=ACAB,
故 cosA=AC2=16,故选D.
解法二: 在 上的投影为| |cosA=| |,
故 cosA=AC2=16,故选D.
答案:D
二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010•江西)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是________.
解析:b在a上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1.
答案:1
8.(2010•浙江)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.
解析:由于α⊥(α-2β),所以α•(α-2β)=|α|2-2α•β=0,故2α•β=1,所以|2α+β|=4|α|2+4α•β+|β|2=4+2+4=10.
答案:10
9.已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,要使λb-a与a垂直,则λ=________.
解析:由λb-a与a垂直,(λb-a)•a=λa•b-a2=0,所以λ=2.
答案:2
10.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则 )的最小值是________.
解析:令| |=x且0≤x≤2,则| |=2-x.
=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.
∴ 的最小值为-2.
答案:-2
三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.
解:由|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,
则a•b=|a||b|cos45°=2×1×22=1.
而(2a+λb)•(λa-3b)=2λa2-6a•b+λ2a•b-3λb2=λ2+λ-6.
设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ,
则cosθ=(2a+λb)•(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0,且cosθ≠1,
∴(2a+λb)•(λa-3b)>0,∴λ2+λ-6>0,
∴λ>2或λ<-3.
假设cosθ=1,则2a+λb=k(λa-3b)(k>0),
∴2=kλ,λ=-3k,解得k2=-23.
故使向量2a+λb和λa-3b夹角为0°的λ不存在.
所以当λ>2或λ<-3时,向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.
评析:由于两个非零向量a,b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=a•b|a||b|去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.
12.设在平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=-12,32.
(1)求证:向量a+b与a-b垂直;
(2)当向量3a+b与a-3b的模相等时,求α的大小.
解:(1)证明:因为(a+b)•(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-14+34=0,故a+b与a-b垂直.
(2)由|3a+b|=|a-3b|,两边平方得3|a|2+23a•b+|b|2=|a|2-23a•b+3|b|2,
所以2(|a|2-|b|2)+43a•b=0,而|a|=|b|,所以a•b=0,则-12•cosα+32•sinα=0,
即cos(α+60°)=0,
∴α+60°=k•180°+90°,
即α=k•180°+30°,k∈Z,
又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.
13.已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=cosπ2-θ,sinπ2-θ,
(1)求证:a⊥b;
(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb满足x⊥y,试求此时k+t2t的最小值.
解:(1)证明:∵a•b=cos(-θ)•cosπ2-θ+
sin(-θ)•sinπ2-θ=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
∴a⊥b.
(2)由x⊥y,得x•y=0,
即[a+(t2+3)b]•(-ka+tb)=0,
∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a•b=0,
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.
又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,
∴k=t3+3t,
∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3
=t+122+114.
故当t=-12时,k+t2t有最小值114.
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