2016高考数学考点《几何证明》专项测试题及答案

学习资料 2021-03-18 321

学好数学需要勇气和智慧,更需要耕耘和方法.只要肯付出,只要肯用“法”,就一定会有收获的。学大教育小编给大家准备了2016高考数学考点《几何证明》专项测试题及答案,欢迎参考!

一 、填空题

1.在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=13BD,延长AE交BC于点F,则BFFC的值为________.

解析 如图,过B作BG∥AC交AF的延长线于点G,则BGAD=BEED=12,∴BFFC=BGAC=BG2AD=14.

答案 14

2.如图所示, 在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,则AB的长为________.

解析 ∵DE∥BC,EF∥CD,又BC=3,DE=2,DF=1,∴AFFD=AEEC=ADDB=2.∴AF=2,AD=3,BD=32,则AB的长为92.

答案 92

3.如图所示,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交边AC于点D, AD=2,则∠C的大小为________.

解析 连接BD,∵BC为直径,∴∠BDC=90°.∴∠ABD=∠BCD,在直角△ABD中,∵AD=2,AB=4,

∴∠ABD=30°,故∠C=∠ABD=30°.

答案 30°

4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为________.

解析 由已知BC=ABsin60°=103,由弦切角定理∠BCD=∠A=60°,所以BD=BCsin60°=15,CD=BCcos60°=53,由切割线定理CD2=DE•BD,所以DE=5.

答案 5

5.如图所示,AB是⊙O的直径,过圆上一点E作切线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.若CB=2,CE=4,则AD的长为________.

解析 设⊙O的半径为r,

由CE2=CA•CB,

解得r=3.连接OE,

∵Rt△COE∽Rt△CAD,

∴COCA=OEAD,解得AD=245.

答案 245

6.如图,⊙O的直径AB=6 cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,则PC=________cm.

解析 连接OC,因为PC为⊙O的切线,

所以OC⊥PC.

又因为∠CPA=30°,

OC=12AB=3 cm,

所以在Rt△POC中,

PC=OCtan∠CPA=333=33(cm).

答案 33

7. 如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:

①AD+AE=AB+BC+CA;

②AF•AG=AD•AE;

③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是________.

解析

∵CF=CE,BF=BD,

∴BC=CE+BD.

∴AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE,

故结论①正确;

连接DF,则∠FDA=∠DGA.

又∵∠A=∠A,

∴△ADF∽△AGD.

∴ADAG=AFAD.

而AD=AE,故结论②正确;

容易判断结论③不正确.

答案 ①②

8.(2014•广东肇庆一模)如 图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,若DB=3,则DC=________.

解析 因为四边形ABCD是圆的内接四边形,

所以∠BCD+∠BAD=π.

又因为∠BAD+∠DAE=π,

所以∠B CD=∠DAE.

因为∠DAC与∠DBC为圆上同一段圆弧所对的角,

所以∠DAC=∠DBC.

又因为AD为∠CAD的角平分线,

所以∠DAC=∠DAE.

综上∠DAE=∠DAC∠DAE=∠BCD∠DAC=∠DBC⇒∠DCB=∠DBC.

所以△DBC为等腰三角形,

则DC=BD=3,故填 3.

答案 3

9.(2014•湖北七市联考)如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B,C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=23,∠APB=30°,则AE=________.

解析 因为PA是⊙O的切线,所以OA⊥PA.

在Rt△PAO中,∠APB=30°,

则∠AOP=60°,AO=APtan30°=2,

连接AB,

则△AOB是等边三角形,过点A作AM⊥BO,重足为M,

则AM=3.

在Rt△AMD中,AD=3+4=7,

又ED•AD=BD•DC,故ED=377,

则AE=7+377=1077.

答案 1077

二、解答题

10.

如图所示,AB为⊙O的直径,P为BA的延长线上一点,PC切⊙O于点C,CD⊥AB,垂足为D,且PA= 4,PC=8,求tan∠ACD和sinP的值.

连接OC,BC,如图.

因为PC为⊙O的切  线,

所以PC2=PA•PB.

故82=4•PB,

所 以PB=16.

所以AB=16-4=12.

由条件,得∠PCA=∠PBC,

又∠P=∠P,

所以△PCA∽△PBC.

所以ACBC=PCPB.

因为AB为⊙O的直径,

所以∠ACB=90°.

又CD⊥AB,

所以∠ACD=∠B.

所以tan∠ACD=tanB=ACBC=PCPB=816=12.

因为PC为⊙O的切线,

所以∠PCO=90°.

又⊙O的直径AB=12,

所以OC=6,PO=10.

所以sinP=OCPO=610=35.

11.

如图所示,AB是半径为1的圆O的直径,过点A,B分别引弦AD和BE,相交于点C,过点C作CF⊥AB,垂足为点F.已知∠CAB=15°,∠DCB=50°.

(1)求∠EAB的大小;

(2)求BC•BE+AC•AD的值.

解 (1)因为AB为圆O的直径,故∠AEB=90°,

又因为∠ECA=∠DCB=50°,

所以在Rt△AEC中,∠CAE=40°,

故∠EAB=∠EAC+∠BAC=55°.

(2)连接BD.由(1),知∠AEC+∠AFC=180°,

故A,F,C,E四点共圆,

所以BC•BE=BF •BA,①

易知∠ADB=90°,

同理可得AC•AD=AF•AB,②

联立①②,知BC•BE+AC•AD=(BF+AF)•AB=AB2=22=4.

B级——能力提高组

1.

(2014•广州一模)如图,PC是圆O的切线,切点为点C,直线PA与圆O交于A ,B两点,∠APC的角平分线交弦CA,CB于D,E两点,已知PC=3,PB=2,则PEPD的值为________.

解析 由切割线定理可得PC2=PA•PB⇒PA=PC2PB=322=92,

由于PC切圆O于点C,

由弦切角定理可知∠PCB=∠PAD,

由于PD是∠APC的角平分线,

则∠CPE=∠APD,

所以△PCE∽△PAD,

由相似三角形得PEPD=PCPA=392=3×29=23.

答案 23

2.(2014•湖北荆州二模)已知⊙O的半径R=2,P为直径AB延长线上一点,PB=3,割线PDC交⊙O于D,C两点,E为⊙ O上一点,且AE︵=AC︵,DE交AB于F,则OF=________.

解析 如图所示,连接OC,OE,PE,

由于AC︵=AE︵,

所以AE︵=12CAE︵.

因此∠AOE=12∠COE,

而∠CDE=12∠COE,

所以∠AOE=∠CDE,

故∠EOF=∠PDF.

由于∠OFE=∠DFP,

因此△OEF∽△DPF,

所以OFDF=EFPF.

因此OF•PF=EF•DF,

设OF=x,

则PF=5-x,

所以EF•DF=x•(5-x)=-x2+5x,

由相交弦定理得EF•DF=AF•BF=(2+x)•(2 -x)=-x2+4,

所以-x2+5x=-x2+4,

解得x=45,故OF=45.

答案 45

3.

(2014•辽宁卷)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.

(1)求证:AB为圆的直径;

(2)若AC=BD,求证:AB=ED.

证明 (1)因为PD=PG,

所以∠PDG=∠PGD,

由于PD为切线,

故∠PDA=∠DBA,

又由于∠PGD=∠EGA,

故∠DBA=∠EGA,

所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,

从而∠BDA=∠PFA.

由于AF⊥EP,

所以∠PFA=90°,

于是∠BDA=90°.

故AB是直径.

(2)连接BC,DC,如图.

由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,

从而Rt△BDA≌Rt△ACB.

于是∠DAB=∠CBA.

又因为∠DCB=∠DAB,

所以∠DCB=∠CBA,

故DC∥AB.

由于AB⊥EP,

所以DC⊥EP,∠DCE为直角.

于是ED为直径,由(1)得ED=AB.

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