学习资料 2021-03-18 417
学好数学需要勇气和智慧,更需要耕耘和方法.只要肯付出,只要肯用“法”,就一定会有收获的。学大教育小编给大家准备了2016高考数学考点《几何证明》专项测试题及答案,欢迎参考!
一 、填空题
1.在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=13BD,延长AE交BC于点F,则BFFC的值为________.
解析 如图,过B作BG∥AC交AF的延长线于点G,则BGAD=BEED=12,∴BFFC=BGAC=BG2AD=14.
答案 14
2.如图所示, 在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,则AB的长为________.
解析 ∵DE∥BC,EF∥CD,又BC=3,DE=2,DF=1,∴AFFD=AEEC=ADDB=2.∴AF=2,AD=3,BD=32,则AB的长为92.
答案 92
3.如图所示,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交边AC于点D, AD=2,则∠C的大小为________.
解析 连接BD,∵BC为直径,∴∠BDC=90°.∴∠ABD=∠BCD,在直角△ABD中,∵AD=2,AB=4,
∴∠ABD=30°,故∠C=∠ABD=30°.
答案 30°
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为________.
解析 由已知BC=ABsin60°=103,由弦切角定理∠BCD=∠A=60°,所以BD=BCsin60°=15,CD=BCcos60°=53,由切割线定理CD2=DE•BD,所以DE=5.
答案 5
5.如图所示,AB是⊙O的直径,过圆上一点E作切线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.若CB=2,CE=4,则AD的长为________.
解析 设⊙O的半径为r,
由CE2=CA•CB,
解得r=3.连接OE,
∵Rt△COE∽Rt△CAD,
∴COCA=OEAD,解得AD=245.
答案 245
6.如图,⊙O的直径AB=6 cm,P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC,若∠CPA=30°,则PC=________cm.
解析 连接OC,因为PC为⊙O的切线,
所以OC⊥PC.
又因为∠CPA=30°,
OC=12AB=3 cm,
所以在Rt△POC中,
PC=OCtan∠CPA=333=33(cm).
答案 33
7. 如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:
①AD+AE=AB+BC+CA;
②AF•AG=AD•AE;
③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是________.
解析
∵CF=CE,BF=BD,
∴BC=CE+BD.
∴AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE,
故结论①正确;
连接DF,则∠FDA=∠DGA.
又∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△AGD.
∴ADAG=AFAD.
而AD=AE,故结论②正确;
容易判断结论③不正确.
答案 ①②
8.(2014•广东肇庆一模)如 图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,若DB=3,则DC=________.
解析 因为四边形ABCD是圆的内接四边形,
所以∠BCD+∠BAD=π.
又因为∠BAD+∠DAE=π,
所以∠B CD=∠DAE.
因为∠DAC与∠DBC为圆上同一段圆弧所对的角,
所以∠DAC=∠DBC.
又因为AD为∠CAD的角平分线,
所以∠DAC=∠DAE.
综上∠DAE=∠DAC∠DAE=∠BCD∠DAC=∠DBC⇒∠DCB=∠DBC.
所以△DBC为等腰三角形,
则DC=BD=3,故填 3.
答案 3
9.(2014•湖北七市联考)如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B,C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=23,∠APB=30°,则AE=________.
解析 因为PA是⊙O的切线,所以OA⊥PA.
在Rt△PAO中,∠APB=30°,
则∠AOP=60°,AO=APtan30°=2,
连接AB,
则△AOB是等边三角形,过点A作AM⊥BO,重足为M,
则AM=3.
在Rt△AMD中,AD=3+4=7,
又ED•AD=BD•DC,故ED=377,
则AE=7+377=1077.
答案 1077
二、解答题
10.
如图所示,AB为⊙O的直径,P为BA的延长线上一点,PC切⊙O于点C,CD⊥AB,垂足为D,且PA= 4,PC=8,求tan∠ACD和sinP的值.
解
连接OC,BC,如图.
因为PC为⊙O的切 线,
所以PC2=PA•PB.
故82=4•PB,
所 以PB=16.
所以AB=16-4=12.
由条件,得∠PCA=∠PBC,
又∠P=∠P,
所以△PCA∽△PBC.
所以ACBC=PCPB.
因为AB为⊙O的直径,
所以∠ACB=90°.
又CD⊥AB,
所以∠ACD=∠B.
所以tan∠ACD=tanB=ACBC=PCPB=816=12.
因为PC为⊙O的切线,
所以∠PCO=90°.
又⊙O的直径AB=12,
所以OC=6,PO=10.
所以sinP=OCPO=610=35.
11.
如图所示,AB是半径为1的圆O的直径,过点A,B分别引弦AD和BE,相交于点C,过点C作CF⊥AB,垂足为点F.已知∠CAB=15°,∠DCB=50°.
(1)求∠EAB的大小;
(2)求BC•BE+AC•AD的值.
解 (1)因为AB为圆O的直径,故∠AEB=90°,
又因为∠ECA=∠DCB=50°,
所以在Rt△AEC中,∠CAE=40°,
故∠EAB=∠EAC+∠BAC=55°.
(2)连接BD.由(1),知∠AEC+∠AFC=180°,
故A,F,C,E四点共圆,
所以BC•BE=BF •BA,①
易知∠ADB=90°,
同理可得AC•AD=AF•AB,②
联立①②,知BC•BE+AC•AD=(BF+AF)•AB=AB2=22=4.
B级——能力提高组
1.
(2014•广州一模)如图,PC是圆O的切线,切点为点C,直线PA与圆O交于A ,B两点,∠APC的角平分线交弦CA,CB于D,E两点,已知PC=3,PB=2,则PEPD的值为________.
解析 由切割线定理可得PC2=PA•PB⇒PA=PC2PB=322=92,
由于PC切圆O于点C,
由弦切角定理可知∠PCB=∠PAD,
由于PD是∠APC的角平分线,
则∠CPE=∠APD,
所以△PCE∽△PAD,
由相似三角形得PEPD=PCPA=392=3×29=23.
答案 23
2.(2014•湖北荆州二模)已知⊙O的半径R=2,P为直径AB延长线上一点,PB=3,割线PDC交⊙O于D,C两点,E为⊙ O上一点,且AE︵=AC︵,DE交AB于F,则OF=________.
解析 如图所示,连接OC,OE,PE,
由于AC︵=AE︵,
所以AE︵=12CAE︵.
因此∠AOE=12∠COE,
而∠CDE=12∠COE,
所以∠AOE=∠CDE,
故∠EOF=∠PDF.
由于∠OFE=∠DFP,
因此△OEF∽△DPF,
所以OFDF=EFPF.
因此OF•PF=EF•DF,
设OF=x,
则PF=5-x,
所以EF•DF=x•(5-x)=-x2+5x,
由相交弦定理得EF•DF=AF•BF=(2+x)•(2 -x)=-x2+4,
所以-x2+5x=-x2+4,
解得x=45,故OF=45.
答案 45
3.
(2014•辽宁卷)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,求证:AB=ED.
证明 (1)因为PD=PG,
所以∠PDG=∠PGD,
由于PD为切线,
故∠PDA=∠DBA,
又由于∠PGD=∠EGA,
故∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,
从而∠BDA=∠PFA.
由于AF⊥EP,
所以∠PFA=90°,
于是∠BDA=90°.
故AB是直径.
(2)连接BC,DC,如图.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.
于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,
所以∠DCB=∠CBA,
故DC∥AB.
由于AB⊥EP,
所以DC⊥EP,∠DCE为直角.
于是ED为直径,由(1)得ED=AB.
以上是学大小编为大家整理的2016高考数学考点《几何证明》专项测试题及答案,请考生细心练习,用心积累。更多内容请关注学大教育官网高考数学栏目。
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