高考数学辅导资料-空间两点间的距离公式

平面几何相对于立体几何来说比较容易掌握，但是也容易丢分，因为它所涉及的知识点十分细致，一旦马虎大意就会导致丢分，下面是我们学大教育精心为大家准备的高考数学辅导资料-空间两点间的距离公式，供大家学习。

一、选择题

1．下列命题中错误的是(　　)

A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)

B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)

C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)

D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)

[答案]　A

[解析]　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．

2．在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于(　　)

A．y轴上 B．x轴上

C．xOz平面内 D．yOz平面内

[答案]　C

[解析]　由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．

3．在空间直角坐标系中，点P(2,3，－5)到原点的距离是(　　)

A．6 B．10

C． D．

[答案]　C

[解析]　由两点间距离公式得

＝.

4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　)

A．(3,0,0) B．(0,3,0)

C．(0,0,3) D．(0,0，－3)

[答案]　C

[解析]　设P(0,0，z)，则有＝，解得z＝3.

5．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(　　)

A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)

C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)

[答案]　B

6．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是(　　)

A．(，1，－2) B．(，2,3)

C．(－12,3,5) D．(，，2)

[答案]　B

二、填空题

7．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________.

[答案]　(1，，1)

[解析]　由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2,3,2)，故M(1，，1)．

8．在ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则AB边上的中线CD的长是________.

[答案]　

[解析]　AB中点D坐标为(，0,3)，

|CD|＝＝.

三、解答题

9．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PAAB，PAAC，试求点P的坐标．

[解析]　因为PAAB，所以PAB是直角三角形，所以|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，整理得x＋z＝1

同理，由PAAC得|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，

即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋1，整理得2x＋z＝0

由解得x＝－1，z＝2，所以点P的坐标为P(－1,0,2)．

10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出点D，N，M的坐标；

(2)求线段MD，MN的长度．

[分析]　(1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．

[解析]　(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．

由AB＝BC＝2，D1D＝3，

得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．

N是AB的中点，N(2,1,0)．

同理可得M(1,2,3)．

(2)由两点间距离公式，得

|MD|＝＝，

|MN|＝＝.

能力提升

一、选择题

1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面的上投影点的坐标分别为(　　)

A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B．(－1,0,0)，(－1,2,0)

C．(－1,0,0)，(－1,0,0)D．(－1,2,0)，(－1,2,0)

[答案]　B

[解析]　点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)．点A(－1,2,1)在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．

2．正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的体积是(　　)

A．16 B．192

C．64 D．48

[答案]　C

[解析]　|AB|＝＝4，

正方体的棱长为＝4.

正方体的体积为43＝64.

3．已知ABC的顶点坐标分别为A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则ABC是(　　)

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．锐角三角形 D．等腰三角形

[答案]　A

[解析]　由两点间距离公式得|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2.

4．ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

[答案]　D

[解析]　ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.

二、填空题

5．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.

[答案]　0或－4

[解析]　利用中点坐标公式可得AB中点C(，，－2)，因为|PC|＝3，所以＝3，解得z＝0或z＝－4.

6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________.

[答案]　

[解析]　|AM|＝

＝，对角线|AC1|＝2，

设棱长x，则3x2＝(2)2，x＝.

三、解答题

7.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1EBD1于点E，求A、E两点之间的距离．

[解析]　根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．

过点E作EFBD于F，如图所示，

则在RtBB1D1中，

|BB1|＝a，|BD1|＝a，

|B1D1|＝a，

所以|B1E|＝＝，

所以RtBEB1中，|BE|＝a

由RtBEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝a，|EF|＝，所以点F的坐标为(，，0)，

则点E的坐标为(，，)．

由两点间的距离公式，得

|AE|＝＝a，

所以A、E两点之间的距离是a.

8如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在面对角线A1B上，点Q在面对角线B1C上．

(1)当点P是面对角线A1B的中点，点Q的面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值；

(2)当点Q是面对角线B1C的中点，点P在面对角线A1B上运动时，求|PQ|的最小值；

(3)当点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值．

[分析]　建立直角坐标系后，表示出相关点的坐标.

(1)确定点P坐标，根据条件设出点Q坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．

(2)确定点Q坐标，根据条件设出点P坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．

(3)设出P，Q两点坐标，表示出|PQ|，利用配方后非零数的和平方最小的条件确定P，Q的坐标．

[解析]　由已知，以顶点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如右图所示的空间直线坐标系Dxyz.

正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，

可得点A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)．

(1)点P是面对角线A1B的中点，

由射影的概念可得P(1，，)．

又点Q在面对角线B1C上运动，

可设点Q(b,1，b)，b[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝

＝

＝.

当b＝时，|PQ|取得最小值，

此时点Q(，1，)．

(2)点Q是面对角线B1C的中点，

由射影的概念可得Q(，1，)．

又点P在面对角线A1B上运动，

可设点P(1，a,1－a)，a[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝

＝

＝

＝.

当a＝时，|PQ|取得最小值，

此时点P(1，，)．

(3)点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动，

可设点P(1，a,1－a)，Q(b,1，b)，a，b[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝

＝

＝.

当b＝时，代入a＋－1＝0得a＝，

即当a＝b＝时，|PQ|取得最小值，

此时点P(1，，)，Q(，1，)．

以上就是我们学大专家精心为大家准备的高考数学辅导资料-空间两点间的距离公式，希望大家在做题时一定要认真仔细，不要犯低级错误。