九年级上册数学单元知识点北师大版

【篇一：一单元】

　　第一章证明

　　一、等腰三角形

　　1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

　　2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

　　2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)

　　3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)

　　4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。

　　5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

　　6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)

　　7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

　　3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

　　特殊的等腰三角形

　　等边三角形

　　1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。

　　(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。

　　2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。

　　⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

　　⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

　　3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。

　　⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

　　⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

　　⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

　　二、直角三角形全等

　　1、直角三角形全等的判定有5种：

　　(1)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)

　　(2)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)

　　(3)、三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)

　　(4)、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)

　　(5)、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)

　　2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

　　4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

　　性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

　　判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

　　5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。

　　6、角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

　　8、角平分线是到角的两边距离相等的所有点的。

　　9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

　　10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。

　　11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。

　　三、平行四边的定义

　　1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，

　　2、性质：(1)平行四边形的对边相等,(2)对角相等,(3)对角线互相平分。

　　3、判定：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　(2)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

　　(5)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

　　(6)一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。

　　两个假命题：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。

　　(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。

　　四、矩形

　　1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

　　2、性质：(1)具有平行四边形的性质，(2)对角线相等，(3)四个角都是直角。

　　(4)矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

　　3、判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形。

　　(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

　　五、菱形

　　1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

　　2、性质：(1)具有平行四边形的性质,(2)四条边都相等,(3)两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。(4)菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

　　3、判定：(1)四条边都相等的四边形是菱形。

　　(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

　　六、正方形

　　1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

　　2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

　　3、判定：(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;

　　(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;

　　(3)对角线相等的菱形是正方形;

　　(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　七、梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形

　　八、等腰梯形

　　1、定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

　　2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

　　3、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

　　九、三角形的中位线

　　定义：连接三角形两边中点的线段。

　　性质:平行于第三边，并且等于第三边的一半。

　　十、梯形的中位线

　　定义：连接梯形两腰中点的线段。

　　性质:平行于两底，并且等于两底和的一半。

　　【篇二：二单元】

　　配方法的应用

　　对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方更为简单。

　　【配方法】

　　一般步骤：

　　第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;

　　第二步：方程两边同时除以二次项系数;

　　第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;

　　第四步：用直接开平方解变形后的方程.

　　古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0，b>0)的方程的图解法是：以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=，则AD的长就是所求方程的解.

　　注意：

　　1.一元二次方程得一般形式特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式。

　　2.“a≠0”是一元二次方程的一个重要组成部分，也是它的一个判断标准之一，但b、c可以为0。若没有出现bx，则b=0;没有出现c，则c=0。

　　3.可以通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤得到一元二次方程得一般形式。

　　【因式分解法】

　　一般步骤：

　　第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;

　　第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;

　　第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。

　　【篇三：三单元】

　　一、平行四边形

　　1、平行四边形的性质定理：

　　平行四边形的对边相等。

　　平行四边形的对角相等(邻角互补)。

　　平行四边形的对角线互相平分。

　　2、平行四边形的判定方法：

　　定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

　　判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

　　对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　二、矩形

　　1、矩形的性质定理：

　　矩形的四个角都是直角。

　　矩形的对角线相等。

　　2、矩形的判定方法：

　　定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

　　判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。

　　对角线相等的平行四边形是矩形。

　　(对角线相等且互相平分的四边形是矩形。)

　　三、菱形

　　1、菱形的性质定理：

　　菱形的四条边都相等。

　　菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。

　　2、菱形的判定方法：

　　定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　　判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。

　　对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。)

　　四、正方形

　　1、正方形的性质定理：

　　正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

　　正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

　　2、正方形的判定定理：

　　l有一个角是直角的菱形是正方形。

　　l有一组邻边相等的矩形是正方形。

　　l有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

　　l对角线相等的菱形是正方形。

　　l对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　l对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。

　　l对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。

　　五、等腰梯形

　　1、等腰梯形的性质定理：

　　等腰梯形的两条对角线相等。

　　等腰梯形在同一底上的两个角相等。

　　2、等腰梯形的判定方法：

　　定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。

　　判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

　　六、三角形的中位线

　　1、定义：

　　连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

　　2、性质定理：

　　三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

　　七、其他定理或结论：

　　1、夹在两条平行线间的平行线段相等。

　　2、三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

　　3、菱形的面积等于其对角线乘积的一半。

　　4、连接三角形每两边的中点，就得到了四个全等的三角形和三个平行四边形，所得的三角形的周长是原三角形周长的，所得的三角形的面积是原三角形面积的。

　　八、中点四边形

　　1.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状，取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，即两条对角线是否相等或者是否垂直。

　　2.依次连接任意四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。

　　3.依次连接平行四边形各边的中点，就得到一个平行四边形。

　　4.依次连接矩形各边的中点，就得到一个菱形。

　　5.依次连接菱形各边的中点，就得到一个矩形。

　　6.依次连接正方形各边的中点，就得到一个正方形。

　　7.依次连接等腰梯形各边的中点，就得到一个菱形。

　　8.依次连接两条对角线相等的四边形各边的中点，就得到一个菱形。

　　9.依次连接两条对角线互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个矩形。

　　10.依次连接两条对角线相等且互相垂直的四边形各边的中点，就得到一个正方形。