苏科版初三下册数学知识点总结

第二十六章　二次函数
　　26.1 二次函数及其图像
　　二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
　　一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　一般式
　　y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;
　　顶点式
　　y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
　　交点式
　　y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;
　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
轴对称
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
　　顶点
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )
　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。
　　开口
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　决定对称轴位置的因素
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 )，对称轴在y轴右。
　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
　　决定抛物线与y轴交点的因素
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于(0，c)
　　抛物线与x轴交点个数
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　_______
　　Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b&plun;√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在
　　{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
　　特殊值的形式
　　7.特殊值的形式
　　①当x=1时 y=a+b+c
　　②当x=-1时 y=a-b+c
　　③当x=2时 y=4a+2b+c
　　④当x=-2时 y=4a-2b+c
　　二次函数的性质
　　8.定义域：R
　　值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，
　　正无穷);②[t，正无穷)
　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。
　　周期性：无
　　解析式：
　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　⑴a≠0
　　⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;
　　⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);
　　⑷Δ=b^2-4ac,
　　Δ>0，图象与x轴交于两点：
　　([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);
　　Δ=0，图象与x轴交于一点：
　　(-b/2a，0);
　　Δ<0，图象与x轴无交点;
　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
　　此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;
　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X
　　的增大而减小
　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
　　用)。
　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
　　26.2 用函数观点看一元二次方程
　　1. 如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数的值是0，因此 就是方程的一个根。
　　2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
　　26.3 实际问题与二次函数
　　在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率等问题，有些可归结为求二次函数的值或最小值。