学习方法 2021-08-09 395
第三章一次方程与方程组
-----------3.1一元一次方程及其解法
①方程是含有未知数的等式。
②方程都只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的整式方程叫做一元一次方程。
③注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点:
1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程);
2)化简后方程中只含有一个未知数;(系数中含字母时不能为零)
3)经整理后方程中未知数的次数是1.
④解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。方程的解代入满足,方程成立。
⑤等式的性质:
1)等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子(整式或分式),等式不变(结果仍相等)。a=b得:a+(-)c=b+(-)c
2)等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数,等式不变。
a=b得:a×c=b×c或a÷c=b÷c(c≠0)
注意:运用性质时,一定要注意等号两边都要同时+、-、×、÷;运用性质2时,一定要注意0这个数。
⑥解一元一次方程一般步骤:
去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)→去括号→移项→合并同类项→系数化1;
以上是解一元一次方程五个基本步骤,在实际解方程的过程中,五个
步骤不一定完全用上,或有些步骤还需要重复使用.因此,解方程时,
要根据方程的特点,灵活选择方法.在解方程时还要注意以下几点:
⑴去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘不含
分母的项;分子是一个整体,去分母后应加上括号;
注意:去分母(等式的基本性质)与分母化整(分数的基本性质)是两个概念,不能混淆;
⑵去括号:遵从先去小括号,再去中括号,最后去大括号不要漏乘括号的项;不要弄错符号(连着符号相乘);
⑶移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(以=为界限),移项要变号;
⑷合并同类项:不要丢项,解方程是同解变形,每一步都是一个方程,
不能像计算或化简题那样写能连等的形式.
⑸系数化1:(两边同除以未知数的系数)把方程化成ax=b(a≠0)
的形式,字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解不要分子、分母搞颠倒(一步一步来)
--------3.2一次方程的应用:
(一)、概念梳理
⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是:审题,特别注意关键的字和词的意义,弄清相关数量关系,注意单位统一,注意设未知数;
①解:设出未知数(注意单位),
②根据相等关系列出方程,
③解这个方程,
④答(包括单位名称,检验)。
⑵一些固定模型中的等量关系:
①数字问题:表示一个三位数,则有=100a+10b+c(数位上的数字×位数)
②行程问题:基本公式:路程=时间×速度
甲乙同时相向行走相遇时:甲走的路程+乙走的路程=总路程
甲走的时间=乙走的时间;
甲乙同时同向行走追及时:甲走的路程-乙走的路程=甲乙之间距离
③工程问题(整体1):基本公式:工作量=工作时间×工作效率
各部分工作量之和=总工作量;
④储蓄问题:本息和=本金+利息;利息=本金×利率×时间
⑤商品销售问题:商品利润=售价-进价( )
商品利润率=(售价-进价)/进价
⑥等积变形问题:面积或体积不变
⑦和、差、倍、分问题:多、少、几倍、几分之几
⑧按比例分配问题:一般设每份为x如:2:3:4为2x、3x、4x
⑨资源调配问题:资源、人员的调配(有时要间接设未知数)
(二)、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结)
⑴模型思想:通过对实际问题中的数量关系的分析,抽象成数学模型,建立一元一次方程的思想.
⑵方程思想:用方程解决实际问题的思想(如:按比例分配、线段的长、角的大小等)就是方程思想.
⑶转化(归纳)思想:解一元一次方程的过程,实质上就是利用去
分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形,不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程,最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
⑷数形结合思想:如:数轴问题、在列方程解决行程问题时,借助
于线段示意图和图表等来分析数量关系,使问题中的数量关系很直
观地展示出来,体现了数形结合的优越性.
⑸分类(整体)思想:如:绝对值、偶次方、点在线段上(延长线
上、线段外)、角在角内(外)在解含字母系数的方程和含绝对值符
号的方程过程中往往需要分类讨论,在解有关方案设计的实际问题
的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.
-----------3.3二元一次方程组及其解法
①由两个一次方程组成的,并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
②消元法解方程组:
1、二元一次方程组的解:使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解(注意格式﹛)
2、代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
3、加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减(左边-左边=右边-右边)消去一个未知数的方法,叫做加减消元法,简称加减法(一定要使某个未知数的系数相等或相反)
-------------3.4二元一次方程组的应用
两个未知数,两个相等关系(见一次方程的应用)
第四章直线与角
-------------4.1几何图形
形状:方的、圆的等
(1)①几何图形大小:长度、面积、体积等
位置:相交、垂直、平行等
②几何体也简称体。包围着体的是面。
③常见的立体图形:圆柱(一曲面二平面)、圆椎(一曲面一平面)、圆台、球(一曲面)、长方体(六面八点十二棱)、四面体(三棱锥)、三棱柱(各部分不都在一个平面内,在一个平面内就是平面图形。)新课标第一网
④点线面体:是组成几何图形的基本元素(是几何图形);点动成线,线动成面,面动成体。
(2)展开与折叠:圆柱的侧面展开图是矩形;圆锥的侧面展开图是扇形;正方体展开六个面可用“1字型”、“Z字型”模型认识。
(3)三视图:主视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图
(从上面看)。
----------4.2直线、射线、线段
1.特点与表示方法:
①直线没有端点,向两方无限延伸(不能用延长描述),可用两个大
写字母或小字字母表示;
②射线只有一个端点,向一方无限延伸,用端点和延伸方向中的任意
一点表示;端点相同,延伸方向相同的两条射线是同一条射线(两个相同)。
③线段有两个端点,可用两个大写字母或小字字母表示(不能延长)。
2.连接两点间的线段的长度,叫做这两点之间的距离。线段是图形,距离有大小。
3.经过两点有一条直线,并且只有一条直线。(两点确定一条直线)。
4.经过两点的所有连线中----------线段最短(两点之间,线段最短)
------------4.3线段的长短比较
①线段的比较:叠合法(线段上、线段的延长线上)或度量法。
②中点:将一条线段分成两条相等的线段的点称这条线段的中点。
③线段的和、差、倍、分(整体求部分,部分求整体)可以设未知数
④点在线段上、点在线段的延长线上、甚至在线段外。
-----------4.4角
1、定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫角。角的端点为顶点,两条射线为角的两边(一条射线绕端点旋转后形成的图形)。
2、1°=60′1′=60″1周角=360度1平角=180度;
直角=90度;钟表上分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°.
3、度化为度、分、秒(整数不动,小数下放);度、分、秒化为度(逐级上调)。
4、度、分、秒的加、减、乘、除(余数下放)运算:对口(秒与秒、分与分、度与度)运算,满60进1,借1算60
-----------4.5角的比较与补(余)角
①角的比较:叠合法(在角的内部、在角的外部)或度量法。
②角的平分线:角平分线把一个角分成两个相等的角,角平分线是一条射线。
③如果两个角的和等于90度(直角),(∠⒈+∠⒉=90°)就说这两个叫互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角。(不要遗漏)。
④如果两个角的和等于180度(平角),(∠⒈+∠⒉=180°)就说这两个叫互为补角,即其中每一个角是另一个角的补角(不要遗漏)。
⑤等角(同角)的补角相等。等角(同角)的余角相等。
⑥角的和、差、倍、分(角在角的内部、在角的外部)可以设未知数
⑦方位角:北偏东30o(就是从北望东旋转30o),西南方向:就是南偏西45o
--------------4.6用尺规作线段与角
1、尺规作图:几何中,通常用没有刻度的直尺和圆规来画图,这种画
图的方法叫做尺规作图
2、作一条线段等于已知线段:(1)作一条射线AM(2)在射线AM
上,以点A为圆心,以线段a的长度为半径画弧,交射线AM于点B则
线段AB为所求作的线段
3、作一个角等于已知角:(1)在∠AOB上以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点P、Q
(2)作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG于点D;
(3)以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第(2)步中所画弧于点F;
(4)作射线EF,∠DEF即为所求作的角
第五章数据的收集与整理
----------------5.1数据的收集
1、全面调查(普查):对全体对象进行的调查叫做全面调查
2、抽样调查:从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式
3、总体:所要考察对象的全体叫做总体
4、个体:其中的每一个考察对象叫做个体
5、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
6、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量
------------5.2数据的整理
1、常用的统计图:条形统计图、折线统计图、扇形统计图
2、扇形统计图:用圆和扇形来表示总体和部分的比例关系,即用圆(36
o)表示总体,用扇形表示构成总体的各个部分,通过扇形的大小来反
映各个部分占总体的百分率大小,像这样的统计图叫做扇形统计图
3、扇形的中心角计算公式:360°×该部分占总体的百分率
-------------5.3用统计图描述数据
(1)条形统计图能清楚表示出事物的绝对数量。
(2)折线统计图能清楚地反映事物的变化趋势。
(3)扇形统计图能清楚地表示各部分占总体的百分率。
--------------5.4从图表中的数据获取信息
图表带来有利于决策的各种信息的同时,使用不当的图表来表达数据,
会给人以误导。在从图表中获取信息时,要关注数据的来源、收集的
方法和描述的形式,以便获取更多合理的信息。
备注:①1+2+3+4+------+n=n×(n+1)/2②1+3+5+7+----+(2n-1)=n2
③2+4+6+8+-----+2n=n×(n+1)④1/2×3=1/2-1/3(1/3×4=1/3-1/4)
⑤22o13-22o12=22o12×(2-1)⑥98/99=1-1/99
⑦如果在直线a上有n个点(线段AB上有n个点可以构成(n+1)×(n+2)/2条线段),则共有2n条射线,n×(n-1)/2条线段;
⑧同一平面内有n条两两相交的直线,最少有一个交点,最多有n×(n-1)/2个交点;
⑨同一平面上共有n个点(n≥3),其中任意三个点都不在同一条直线上,那么连接任意两点,可画n×(n-1)/2条直线;
⑩平面上从点A发出n条射线,可以组成n×(n-1)/2个角;(角内发出n条射线,,可以组成(n+1)×(n+2)/2个角
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