第四章 整式的运算
⼀、整式
单项式和多项式统称整式。
a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独⼀个数或字母也是单项式。
b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前⾯的性质符号，如果
⼀个单项式只是字母的积，并⾮没有系数，系数为1或-1。
c)⼀个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)
a)⼏个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做
常数项。⼀个多项式中，次数项的次数，叫做这个多项式的次数.
b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每⼀项都是单项
式，⼀个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每⼀项都有它们各⾃的次数，
但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，⼀个多项式的次数只有⼀个，它是所含各项的次数中
的那⼀项次数.
a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是⼀个多项式或是单项式.
b)括号前⾯是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，⼀个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都
要相乘。
⼆、同底数幂的乘法
(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应⽤法则运算时，要注意以下⼏点：
a)法则使⽤的前提条件是：幂的底数相同⽽且是相乘时，底数a可以是⼀个具体的数字式字母，也可
以是⼀个单项或多项式;
b) 指数是1时，不要误以为没有指数;
c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;⽽对于加法，
不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;
d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推⼴为 (其中m、n、p均为整数);
e)公式还可以逆⽤： (m、n均为整数)
a)幂的乘⽅法则： (m，n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
b) （m,n都为整数）。
c) 底数有负号时，运算时要注意，底数是a与(-a)时不是同底，但可以利⽤乘⽅法则化成同底，如将(-
a)3化成-a3
d)底数有时形式不同，但可以化成相同。
e) 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
f) 积的乘⽅法则：积的乘⽅，等于把积每⼀个因式分别乘⽅，再把所得的幂相乘，即（ab）n=anbn (
n为正整数)。
g) 幂的乘⽅与积乘⽅法则均可逆向运⽤。
五、同底数幂的除法
a)同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 (a≠0).
b)在应⽤时需要注意以下⼏点:
1) 法则使⽤的前提条件是“同底数幂相除”⽽且0不能做除数，所以法则中a0。
2)任何不等于0的数的0次幂等于1，即a0=1(a≠0) ，如100=1 ，(-2.50=1)，则00⽆意义。
c)任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数)，等于这个数的p的次幂的倒数，即 ( a≠0，p是正整数)，⽽0
-1，0-3都是⽆意义的;当a>0时，a-p的值⼀定是正的，当a<0时，a-p的值可能是正也可能是负的，如 ， d)
运算要注意运算顺序。
六、整式的乘法
单项式相乘，它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，连同它的指数作
为积的⼀个因式。
单项式乘法法则在运⽤时要注意以下⼏点：
a)积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘
与指数相加混淆;
b)相同字母相乘，运⽤同底数幂的乘法法则;
c)只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数作为积的⼀个因式;
d)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适⽤;
e)单项式乘以单项式，结果仍是⼀个单项式。
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式
相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下⼏点：
a)单项式与多项式相乘，积是⼀个多项式，其项数与多项式的项数相同;
b)运算时要注意积的符号，多项式的每⼀项都包括它前⾯的符号;
c) 在混合运算时，要注意运算顺序。
多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式中的每⼀项乘以另⼀个多项式的每⼀项相乘，再把所得的积相
加。
多项式与多项式相乘时要注意以下⼏点：
a)多项式与多项式相乘要防⽌漏项，检查的⽅法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个
多项式项数的积;
b)多项式相乘的结果应注意合并同类项;
c)对含有同⼀个字母的⼀次项系数是1的两个⼀次⼆项式相乘（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，其
⼆次项系数为1，⼀次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于⼀次项
系数不为1的两个⼀次⼆项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到 。
七.平⽅差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平⽅差，即 。
其结构特征是：
a)公式左边是两个⼆项式相乘，两个⼆项式中第⼀项相同，第⼆项互为相反数;
b) 公式右边是两项的平⽅差，即相同项的平⽅与相反项的平⽅之差。
⼋、完全平⽅公式
两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍，即 ;
⼜诀：⾸平⽅，尾平⽅，2倍乘积在中央;
a)公式左边是⼆项式的完全平⽅;
b)公式右边共有三项，是⼆项式中⼆项的平⽅和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
c)在运⽤完全平⽅公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。
九、整式的除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式⾥含有的字母，则连同它
的指数作为商的⼀个因式;
多项式除以单项式，先把这个多项式的每⼀项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除
以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
